Primitív és a határozatlan integrál

§ 37. A primitív és határozatlan integrál

Az előző fejezetekben meghatározott funkció által irányított különböző képletekkel és rendeletek, meg annak származéka. Láttuk, hogy a származék számos alkalmazása: származékot - a mozgási sebessége (vagy, általánosabban, a előfordulási arányának bármely folyamat); -származék - a lejtőn a érintő a függvény grafikonját; használatával differenciálhányados lehet vizsgálni, és a monotónia szélsőértékek; származék segít megoldani a problémákat az optimalizálás.

De a való életben meg kell oldani az inverz problémák: például együtt a feladattal, hogy a sebesség a jól ismert ügyvédi mozgás észlelt, és a probléma a helyreállítás a törvény a mozgás az ismert arány. Tekintsük a fenti problémák.

1. példa Az előremenő mozgó anyagi pont, a sebesség a mozgás ideje t szerint adott u = tg. Keresse meg a törvény a mozgás.

Határozat. Legyen s = s (t) - a kívánt jog a mozgás. Köztudott, hogy s'(t) = u „(t). Tehát, hogy megoldja a problémát, amire szükség van a funkciók kiválasztására s = s (t), a származék, amely egyenlő Tg. Nem nehéz kitalálni, hogy

Azonnal megjegyezzük, hogy a példákban döntések helyes, de nem teljes. Azt találtuk, hogy valójában a probléma végtelen sok megoldás: minden funkciója formájában tetszőleges konstans lehet a törvény mozgásban

Ez a feladat vált bizonyos, rögzítenünk kellett a kiinduló helyzethez: adja meg a koordináta a mozgó pont bármikor, például t = 0. Ha például, s (0) = s0. majd a egyenlőség kapjuk s (0) = 0 + C, t.e.S0 = S. Most a törvény a mozgás egyértelműen meghatározzák:
A matematikában kölcsönösen penziós ügyletekre rendelt különböző nevek, felér egy speciális jelölés: például négyszögesítése (x 2) és a négyzetgyök, szinusz (Sinh) és Arkuszszinusz (arcsin x), stb A folyamat találni egy származéka az előre meghatározott függvény neve differenciálódás, és fordított műveletet, azaz folyamat találni egy függvény egy adott származék - integráció.
A "származék" indokolt lehet "egy világi": a függvény y - f (x) 'szül "egy új funkció a = f' (x) • A funkció y = f (x) úgy működik, mint egy" szülő „de a matematika persze, ne hívja őt” szülő „vagy a” gyártó”, azt mondják, hogy, tekintettel az y»= f«(x), az elsődleges kép, vagy röviden, primitív.

1. meghatározása az y = f (x) nevezzük primitív a függvény y = f (x) egy előre meghatározott intervallumban X, ha minden x a egyenlőség X F „(x) = f (x).

A gyakorlatban, a rés X általában nem jelezzük, de értjük (mint a természetes domain a funkció).

1) A funkció y = x 2 egy primitív a függvény az y = 2x, hiszen az összes x van (x 2) = 2x.
2) az y - x 3 a primitív függvény y Sx 2. Mivel minden x, van (x 3) = Sx 2.
3) A funkció y Sinh primitív a függvény az y = sosh mert minden x van (Sinh) = sosh.
4) Funkció yavlyaetya primitív a függvény a mivel minden x> 0 a egyenlőség
Általában tudva általános képletű találni, akkor könnyen teremt egy táblázatot formulákat találni primitívek.

Reméljük meg fogja érteni, hogy ez a tábla készül: a származék, amely rögzíti a második oszlopban megegyezik a funkciót, amelyet a mérleg megfelelő sorában az első oszlop (csekk, ne legyen lusta, ez nagyon hasznos). Például, a függvény az y = x 5 primitív telepítése, egy olyan funkció (lásd. A negyedik sor a táblázatban).

Megjegyzések: 1. Itt bizonyítani tétel, hogy ha = F (x) - a primitív függvény y = f (x), akkor a függvény y = f (x) egy végtelen számú primitívek és mindegyik formájában = F (x) + C. Ezért jobb lenne a második oszlopban a táblázat egész hozzáadni a kifejezést C, ahol C - tetszőleges valós szám.
2. A rövidség kedvéért néha helyett a kifejezés „az y = f (x) egy primitív egy függvény y = f (x)», mondjuk F (x) - primitív f (x) ».

2. A szabályok megtalálására primitívek

Ha keres primitívek, mint amikor megtaláljuk a származékok nem csak a Formula (ezek a táblázatban a 196. o.), De néhány szabályt. Ezek közvetlenül kapcsolódik az adott számítási származékok szabályokat.

Tudjuk, hogy a származtatott egy összegével megegyező összegű származékok. Ez a szabály ad okot, hogy egy megfelelő szabályt találni primitívek.

Szabály 1. A primitív összeg összegével egyenlő primitívek.

2. példa Find a primitív függvény az y = 2x + cos x.

Határozat. A primitív 2 jelentése X „; egy primitív cos x sin x. Tehát primitív függvény az y = 2x + cos x fog szolgálni a függvény az y = x 2 + sin x (és általában, minden funkciója a y = x + 1 Sinh + C).
Tudjuk, hogy képesek vagyunk az állandó tényező a jele a származék. Ez a szabály ad okot, hogy egy megfelelő szabályt találni primitívek.

2. szabály: A konstans tényező lehet venni kívül primitív.

Példa 3. Keresse meg a primitívek egy adott funkció:

. Fe w n e) egy primitív sin x x -soz; Ez azt jelenti, hogy a funkció y = 5 sin x egy primitív függvény az y = x -5soz.

b) antiderivatives cos x sin x; azt jelenti, primitív függvény függvénye
c) egy primitív x 3 használják a primitív egy primitív x y = 1 az y = x. Az első és a második szabályait megállapító primitívek, azt találjuk, hogy primitív függvény y = 12x + 8x 3-1 függvénye
Megjegyzés. Amint az jól ismert, a származék termék nem egyenlő a terméket a származék (a termék megkülönböztetése általában nehezebb), és a származék a privát nem egyenlő a hányadosa származékok. Ezért nincs olyan szabály megtalálása a termék egy primitív vagy primitív a hányadosa két funkciója van. Légy óvatos!
Kapunk egy másik szabály megtalálása primitívek. Tudjuk, hogy a függvény deriváltját y = f (kx + m) kiszámítása a következő képlettel

Ez a szabály ad okot, hogy egy megfelelő szabályt találni primitívek.
3. szabály Ha = F (x) - a primitív a függvény y = f (x), a primitív a függvény y = f (kx + m) egy olyan funkció,

Ez azt jelenti, hogy egy primitív függvény y = f (kx + m).
Hogy mit jelent a harmadik szabály a következő. Ha tudja, hogy a primitív függvény y = f (x) függvénye y = F (x), a.vam kell találni a primitív függvény y = f (k, m +), majd folytassuk a következőképpen: hogy ugyanaz a funkciója, mint az F, de ahelyett, hogy az érvelés x helyettesítő expressziós kx + m; Továbbá, ne felejtse el aláírni rekord funkció „korrekciós tényező”
Példa 4. Keresse meg a primitívek egy adott funkció:

Határozat. a) egy primitív sin x x -soz; Ez azt jelenti, hogy a funkció y = sin2h primitív funkció
b) antiderivatives cos x sin x; azt jelenti, primitív függvény függvénye

c) egy primitív x 7 szolgál jelenti, hogy a funkció y = (4-5H) 7 egy primitív függvény

3. A határozatlan integrál

Már jeleztük, hogy a probléma találni egy primitív a megadott funkciót = f (x) van egy megoldás. Megbeszéljük ezt a kérdést részletesebben.

Bizonyítás. 1. Legyen y = f (x) - a primitív függvény y = f (x) az intervallum X. Ez azt jelenti, hogy minden x az X, az egyenlőség x „(x) = f (x) Keressünk származék semmilyen funkciót az űrlapot. y = f (x) + C:
(F (x) + C) = F „(x) + C = f (x) +0 = f (x).

Így, (F (x) + C) = f (x). Ez azt jelenti, hogy = F (x) + C egy primitív a függvény y = f (x).
Így beláttuk, hogy ha az y = f (x) egy primitív = F (x), akkor a függvény 2. Most bebizonyítjuk, hogy a megadott szolgáltatások nézetek kimeríti a készlet primitívek.

Legyen = F1 (x) és y = f (x) - a két primitívek egy függvény Y = f (x) át a intervallumon X. Ez azt jelenti, hogy minden x az intervallumban X kielégíti az alábbi összefüggést: F ^ (x) = f ( x); F „(x) = f (x).

Rasmotrim függvény y = F1 (x) -.F (x) és megtalálja a származéka: (F, (x) -F (X)) „= F [(x) -F (X) = f (x) - f (x) = 0.
Ismeretes, hogy ha a származékot a rés X jelentése azonos nullával egyenlő, akkor a függvény állandó intervallumban X (lásd. 3. Tétel A § 35). Ennélfogva, F1 (x) -F (X) = C, például Qx) = f (x) + C.

5. példa adott törvénye sebesség változik időről v = -5sin2t. Find a mozgás s = s (t), ha ismeretes, hogy a t = 0 pontot a koordináta megegyezik a száma 1,5 (azaz, s (t) = 1,5).

Határozat. Mivel az arány - származtatott koordináták, az idő függvényében, először is meg kell találni a primitív a sebesség, azaz primitív a funkció v = -5sin2t. Az egyik ilyen funkció a primitívek. egy sor primitívek a következő:

Ahhoz, hogy megtalálja egy bizonyos értéket a C konstans, használjuk a kezdeti feltételeket, amelyek szerint, s (0) = 1,5. Behelyettesítve a képlet (1), az értékeket t = 0, S = 1,5, kapjuk:

Behelyettesítve a C értéke a képlet (1), azt látjuk, mi érdekli a törvény a mozgás:

DEFINÍCIÓ 2. Ha a függvény az y = f (x) intervallumban X primitív = f (x), a készlet primitívek, azaz sokaságát funkcióinak formájában y = f (x) + C, az úgynevezett határozatlan integrál függvény y = f (x), és jelentésük:

(Helyesen: "a határozatlan integrál az X eff de X").
A következő részben fogjuk megtudni, mi a rejtett értelmét ezt a megnevezést.
Ennek alapján a meglévő táblázat ebben a szakaszban primitívek, hogy egy tábla az alapvető határozatlan integrálok:

A fentiek alapján a három szabályait megállapító primitívek, tudjuk megfogalmazni a vonatkozó szabályokat az integráció.

1. szabály Az integrál összege funkciók összegével egyenlő az integrálok ezeket a funkciókat:

2. szabály: A konstans tényező lehet kivinni az integrál jel:

6. példa Keresse meg a határozatlan integrál:

Határozat. a) A első és második integrációs szabályok, kapjuk:

Most használd a 3. és 4. integráció képletek:

Ennek eredményeképpen megkapjuk:

b) A harmadik szabály az integráció és 8 általános, kapjuk:

c) találni egy előre meghatározott sorrendben közvetlenül szerves nincs megfelelő képlet vagy a megfelelő szabályt. Ilyen esetekben, néha segít preformált azonos konverziós kifejezések szereplő integrandust.

Mi használjuk a trigonometrikus képlet csökkentő fokozat:

Aztán találunk egymás után:

AG Mordkovich Algebra 10. évfolyam

Ha javításokat és javaslatokat a leckét, kérjük lépjen kapcsolatba velünk.

Ha azt szeretnénk, hogy a többi beállítást és javaslatokat órák, nézd meg itt - Oktatási fórum.