másodfokú egyenlőtlenség

Másodfokú egyenlőtlenség - „teljesen”. Ebben a cikkben fogjuk vizsgálni a megoldás egyenlőtlenségek tér nevezik a finomságok. Tananyag cikkek azt tanácsolják, hogy nem hiányzik semmi. Legyőzni a cikket csak nem fog működni, azt ajánlom, hogy csináld több megközelítésből, sok információt.

Azt javasoljuk, hogy ismételje meg a képletet Másodfokú egyenletek megoldása, és megtanulják, hogy gyorsan megoldani. Anélkül, hogy ez a döntés a téren beszédet egyenlőtlenségek nem lehet.

Másodfokú egyenlőtlenség - ez az egyenlőtlenség típusa:

Sőt, ha Ön a másodfokú egyenlet és helyettesítheti azonos jel a fentiek közül bármelyik, akkor kap egy másodfokú egyenlőtlenség. Oldjuk meg az egyenlőtlenség - ez azt jelenti, hogy válaszoljon a kérdésre, amit az x, ez az egyenlőtlenség igaz lesz. példák:

Másodfokú egyenlőtlenség megadható implicit, például:

Ebben az esetben van szükség, hogy végre a algebrai átalakításokat, és vigye el a formanyomtatvány (1).

* A együtthatók lehetnek frakcionált és irracionális, de az iskolai tananyag ilyen példák ritkák, és a vizsga feladatok nem fordul elő egyáltalán. De ne aggódj, ha például, talál:

Ez is egy másodfokú egyenlőtlenség.

Először is, úgy egy egyszerű algoritmus megoldás, amely nem igényel értik, amit a másodfokú függvény és hogyan néz ki a grafikonon a koordinátasíknak képest a koordináta tengelyekre. Ha emlékszik az információ gyors és hosszú, rendszeresen megerősíti gyakorlatban az algoritmus segít. Továbbá, ha, mint mondják, meg kell oldani ezt az egyenlőtlenséget „narazok”, az algoritmus, hogy segítsen. Ezt követően már könnyen kivitelezhető megoldást.

Ha az iskolában, azt javasoljuk, hogy elsajátítania a cikk második része, amely leírja az egész pont a megoldás (lásd alább a pont - használata egy másodfokú függvény grafikon). Ha van megértése az a tény, nem tanítani, nem kell megjegyeznünk az algoritmus nem lesz rá szükség, akkor könnyen gyorsan választani másodfokú egyenlőtlenség.

Persze, nem lenne jobb kezdeni magyarázat pontosan grafikon másodfokú függvények és obyasneniya nagyon értelme, de úgy döntött, hogy „építeni” egy cikket, mint ez.

Egy másik elméleti pont! Lásd képlet bővítése a négyzet trinomiális be tényezők:

* Annak érdekében, hogy megoldja másodfokú egyenlőtlenség kell négyzet trinomiális tényezőként.

Az alábbi algoritmus is nevezik eljárás időközönként. Ez megoldására alkalmas az egyenlőtlenségek a f (x)> 0, f (x)<0. f(x)≥0 иf(x)≤0. Обратите внимание, что множителей может более двух, например:

döntési algoritmus. intervallum módszer. Példák.

1. Írjuk be a másodfokú egyenlet ax2 + bx + c = 0, és oldja meg. Kapjuk x1 és x2 - gyökerei a másodfokú egyenlet.

2. behelyettesítve (2) és egy együttható gyökerek. Írunk egyenlőtlenség formájában:

3. Határozza meg az intervallumok a számegyenesen (gyökerek osztva időközönként numerikus tengely):

4. Határozza meg a „védjegyek” az intervallumokon (+ vagy -) helyettesítjük tetszőleges érték „x” minden egyes vett nyílásba, hogy az expressziós:

5. Csak akkor tudjuk felírni időközönként érdekes számunkra, azok meg vannak jelölve:

- "+" jel, ha az egyenlőtlenség állt "> 0" vagy "≥0".

- „-” jel, ha az egyenlőtlenség volt "<0» или «≤0».

Ezután írd le a választ.

Megjegyzés. Magukat egyenlőtlenség jelei lehetnek:

szigorú - a ">", "<» и нестрогими – это «≥», «≤».

Hogyan befolyásolja ez az eredménye a döntés?

Ha súlyosabb tünetek egyenlőtlenség határ a tartomány nem tartalmazza a döntést, a válasz intervallum maga írásos formában (x1, x2) - zárójelbe.

Amikor a nem-szigorú egyenlőtlenség jelek intervallum határa az oldatban, és a válasz felírható [x1; x2] - szögletes zárójelben.

* Ez nem csak szögletes egyenlőtlenségeket. A szögletes zárójelek azt jelenti, hogy a határ az intervallum tartalmazza a megoldás.

A példák látni fogja azt. Nézzünk egy pár, hogy távolítsa el az összes kérdést a témában. Elméletileg az algoritmus tűnhet egy kicsit bonyolult, valójában egyszerű.

Behelyettesítve a gyökerek és a koefficiens a (2) képlet, kapjuk:

Írja egyenlőtlenség formájában (X-50) (X-10) ≤ 0

A gyökerek az egyenlet vannak osztva időközönként numerikus tengelyt. Megmutatjuk nekik a számegyenesen:

Kaptunk három intervallum (-∞; 10), (10; 50) és (50; + ∞).

Határozza meg a „védjegyek” az intervallumokon ezt helyettesítve a kifejezés (X-50) (X-10) tetszőleges értékeket minden egyes vett rés és nézd illő kapott „jel” megjelölés a egyenlőtlenség (X-50) (X-10) ≤ 0.

ha x = 2 (x-50) (X-10) = 384> 0, helytelen

ha x = 20 (X-50) (X-10) = -300 <0 верно

ha x = 60 (X-50) (X-10) = 500> 0, helytelen

A döntés lesz, az [10, 50].

Minden x értékek ettől egyenlőtlenség igaz intervallumban.

* Felhívjuk figyelmét, hogy az általunk szállított zárójelbe.

X = 10 x = 50 egyenlőtlenség is igaz lesz, vagyis a határok szerepelnek a határozatban.

- intervallum határait valamilyen megoldást az egyenlőtlenség, amikor a jel van vagy ≤ ≥ (nem szigorú egyenlőtlenség). Ebben az esetben a vázlatot tett gyökerek kapott mutatják ZASHTRISHOVANNYM kört.

- Az határait intervallum nem szerepel a döntési egyenlőtlenség, ha van egy jel a feltétel <или> (Szigorú egyenlőtlenség). Ebben az esetben a vázlatot meggyökerezett kijelző üres körök.

Behelyettesítve a gyökerek és a koefficiens a (2) képlet, kapjuk:

Írja egyenlőtlenség formájában (X-3) (x + 7)> 0.

A gyökerek az egyenlet vannak osztva időközönként numerikus tengelyt. Megjegyzés őket a szám sor:

* Egyenlőtlenség laza, így lásd a gyökerei a nem árnyékolt. Kaptunk három intervallum (-∞; -7), (-7, 3) és a (3; + ∞).

Határozza meg a „jelek” a időközönként, ezt helyettesítve a kifejezés (x 3) (x + 7) tetszőleges értékeket ezen intervallumok és nézni a megfelelő egyenlőtlenség (x 3) (x + 7)> 0.

ha x = -10 (-10-3) (-10 +7) = 39> 0 igaz

ha x = 0 (0-3) (0 +7) = -21 <0 неверно

ha x = 10 (10-3) (10 +7) = 119> 0 igaz

A döntés lesz két időközönként (-∞; -7) és (3; + ∞). Minden x értékek a szünetekben egyenlőtlenség igaz lesz.

* Felhívjuk figyelmét, hogy tegye zárójelbe. Amikor X = 3, és x = -7 egyenlőtlenség rossz lesz - a határok nem része a megoldásnak.

Behelyettesítve a gyökerek és a koefficiens a (2) képlet, kapjuk:

Írja egyenlőtlenség, mint egy - (x + 5) (x + 4)> 0.

A gyökerek az egyenlet vannak osztva időközönként numerikus tengelyt. Megjegyzés a szám sor:

* A egyenlőtlenség szigorú, így a megnevezések árnyékolt gyökerek. Kaptunk három intervallum (-∞; -5), (-5; -4) és a (-4; + ∞).

Határozza meg a "jelek" időközönként, így helyettesítve az expressziós - (x + 5) (x + 4) tetszőleges értékeket ezen intervallumok, valamint lásd a megfelelő egyenlőtlenség - (x + 5) (x + 4)> 0.

ha x = -10 - (-10 + 5) (-10 + 4) = -30 <0 неверно

ha x = -4,5 - (-4,5 + 5) (- 4,5 + 4) = 0,25> 0 igaz

ha x = 0 - (0 + 5) (0 +4) = -20 <0 неверно

A döntés lesz az intervallum (-5, -4). Az összes „x” értéke egyenlőtlenség tartozó igaz lesz.

* Felhívjuk figyelmét, hogy a határok nem szerepel a határozatban. Amikor x = x = -5 és -4 egyenlőtlenség hamis.

Amikor másodfokú egyenlet megoldása, akkor kap egy gyökér vagy gyökereket nem lesz egyáltalán, akkor ezzel a módszerrel vakon is nehezen találnak megoldást.

Akár egy kis! A módszer jó, és kényelmes a használata, különösen akkor, ha ismeri a másodfokú függvény és ismerik a tulajdonságait a menetrend. Ha nem, akkor olvassa el, folytassa a következő részben.

A grafikon egy másodfokú függvény. Azt ajánlom!

Négyzetes funkciója a forma:

A gráf egy parabola, a parabola ága felfelé vagy lefelé:

A grafikon lehet elhelyezni a következőképpen: az x-tengely metszik egymást két pont, ez vonatkozhat egyetlen pontban (Apex) nem tud átlépni. Erről később.

Most veszik ezt a megközelítést példaként. Az egész folyamat a megoldás három szakaszból áll. Mi megoldjuk az egyenlőtlenséget x2 + 2x-8> 0.

Point - 4 és 2 metszéspontja a parabola és a tengely Ox. Ez egyszerű! Mit tett? Úgy döntöttünk, a másodfokú egyenlet x2 + 2x-8 = 0. Nézd meg a rekord ebben a formában:

Nulla az értéke „y”. Ha y = 0, megkapjuk az abszcissza a parabola metszéspontok az x tengely. Azt lehet mondani, hogy a nulla érték „Y” ez az x-tengelyen.

Most nézzük meg, mi az x kifejezés x2 + 2x- még 8 (vagy kevesebb) semmiből? Az ütemterv szerint a parabola könnyű azonosítani, mint mondják, mind a szem előtt:

1. Ha x <– 4 ветвь параболы лежит выше оси ох. То есть при указанных х трёхчлен x2+2x–8 будет положительным.

2. -4 <х <2 график ниже оси ох. При этих х трёхчлен x2+2x–8 будет отрицательным.

3. Ha x> 2 parabola ága fölött fekszik tengely ökör. Ilyen trinomiális x x2 + 2x-8 pozitív lesz.

Parabola minket azonnal alapján egyértelmű, hogy mi a kifejezést x2 + 2x-8 nagyobb, mint nulla, nulla, kevesebb, mint nulla. Ez a lényege a harmadik szakasz a határozat, nevezetesen, hogy látni és azonosítani a pozitív és negatív terület az ábrán. Megtalálása kapott eredmény a kiindulási és az egyenlőtlenségek levelet választ. A mi példánkban, szükség van, hogy meghatározzuk az összes x értékei, amelyek az expressziós x2 + 2x-8 nagyobb, mint nulla. Tulajdonképpen, megcsináltuk a második szakaszban.

Továbbra is írni a választ.

Összefoglalva: az első lépés kiszámításához gyökerei az egyenlet, tudjuk mutatni, hogy az adatpontok a tengelyen Ox (parabola a metszéspont az x-tengely). További vázlatosan építünk egy parabola, és már látjuk a megoldást. Miért vázlatos? Matematikailag a pontos ütemezés nincs szükség. És képzeljétek el, például, ha a gyökereket kapott 10 és 1500, csak próbálja építeni egy pontos menetrendet a lapon egy ketrecben egy futó kezdő értékeket. Ez felveti azt a kérdést! Nos, van gyökerek, nos, ők mutatott az ökör tengellyel és felvázolni az elrendezés maga a parabola - ágak felfelé vagy lefelé? Minden könnyű! A relatív x 2 megmondja:

- ha ez nagyobb, mint nulla, a parabola ágai felfelé irányuljon.

- Ha kevesebb, mint nulla, a parabola ágai alján.

Példánkban ez egyenlő az egység, ami pozitív.

* Megjegyzés: Ha az egyenlőtlenség lesz a jele a laza, azaz ≤ vagy ≥, akkor a gyökerek a számegyenesen kell kelnek ezek hagyományosan azt mutatták, hogy a nagyon értéke az intervallum tartalmazza a megoldás a egyenlőtlenség. Ebben az esetben a gyökerek nem árnyékolt (put out), mert van szigorú egyenlőtlenség (van egy jel „>”). Ezzel a válasz, ebben az esetben tegye zárójelbe helyett négyzet (határ nem szerepel a határozat).

Sokat írtak már, hogy valaki zavaros, azt hiszem. De ha úgy dönt, legalább 5 egyenlőtlenségek segítségével parabola, hogy öröm a limit nem lesz. Ez egyszerű!

1. Írjuk be a egyenlőtlenséget eredményez a standard.

2. Írja be a másodfokú egyenlet és oldja meg.

3. Rajz tengely Ox, jegyzet kapott gyökerek vázlatosan felhívni parabola ágai felfelé, ha a relatív x 2 pozitív vagy ágakat le, ha az negatív.

4. Határozza meg a látótér a pozitív vagy negatív választ, és feljegyzi az eredeti egyenlőtlenség.

Építünk az x-tengelyen. Megállapítva kapott gyökereket. Mivel az egyenlőtlenséget mi szigorú, akkor árnyékolás őket nem. Vázlatosan konstrukció parabola ágai ez található felfelé, a relatív x 2 pozitív:

Határozzuk meg az előző pozitív és negatív régiók, itt már őket a különböző színekkel az érthetőség kedvéért, ezt nem teheti ezt.

* Have U obodinenie döntést. Képletesen úgy mondjam, a megoldás „ez” és „még a” intervallumban.

Építünk az x-tengelyen. Megállapítva kapott gyökereket. Mivel van egy nem szigorú egyenlőtlenség, majd árnyékot a gyökerek megnevezések. Vázlatosan konstrukció parabola ágai ez található meg, hiszen a együtthatója x 2 negatív (ez -1):

Határozzuk meg az előző pozitív és negatív régiókban. Összehasonlították az eredeti egyenlőtlenség (jelzésen ≤ 0). Az egyenlőtlenség igaz x ≤ - 4 és x ≥ 5.

* A szögletes zárójelek - ez azt jelenti, hogy a határokat az intervallum tartalmazza a döntést. Ay tengelyt a számok nem vagyunk feltüntetve, mert ebben a helyzetben nem számít, hogy van, amikor vázlatokat tengelye oy építeni kötelező.

Most egy másik fontos pont! Megvizsgáltuk példákat, amelyben az oldatban a másodfokú egyenlet kapott két gyökerek, azaz a parabola keresztezi az x-tengely két ponton. A folyamat döntés egyértelmű. De felmerül a kérdés: ha a megoldás a másodfokú egyenlet egyik gyökér vagy nem gyökér (diszkrimináns negatív), akkor hogyan kell megérteni és hogyan kell meghatározni, hogy van-e megoldás?

Néhány válasz nyilvánvaló:

- Ha kiderül, egy gyökér (a diszkrimináns nulla), a parabola érinteni fogja ökör tengely egy ponton, azaz a csúcsa.

- Ha nincs megoldás a másodfokú egyenlet (diszkrimináns negatív), akkor a parabola általában nem érintse az ökör tengelyen.

Akkor felmerül a kérdés, hogy mi a teendő ilyen helyzetekben és hogyan kell meghatározni a válasz?

És ez az, ahol azt kérem, hogy figyeljen az egyik legfontosabb pont, amely már előírtak szerint ebben a cikkben! Az egyenlőtlenség, ha x 2 mi lehet pozitív vagy negatív tényező. Ha pozitív együtthatót a parabola ága felfelé irányított, negatív lefelé. És most folytassa a következő részben a cikk.

Másodfokú egyenlőtlenségek. Minden alkalommal!

Alul kerülnek bemutatásra az összes lehetőséget parabola helyen, ami akkor történhet, ha Másodfokú egyenlőtlenség:

Az első grafikonokat

(Coefficient a> 0, azaz parabola ága felfelé)

A második grafikonokat

(Együttható a <0, то есть ветви параболы направлены вниз)

Ami a fent vázolt kérdések, abból az alkalomból, amikor a másodfokú egyenlet nincs megoldás, figyelni, hogy a számok 9,10,11,12, 21,22,23,24 és megérteni mindent. tovább:

Például, ha úgy találják, hogy a diszkrimináns negatív, de nincsenek lovak másodfokú egyenlet megoldása. Mit jelent ez? És az a tény, hogy a parabola ágai a nem metszi a tengelyt Ox, azaz ez található vagy fölött tengely Ox és annak ágai vannak felfelé vagy alatt a tengely és annak ágai lefelé irányulnak. És akkor azt kell kitalálni, hogy hol az Ön esetében irányított ágak. Megnézzük együttható x 2.

- ha pozitív, akkor a sematikus sorsolás parabola felett tengely Ox ágak felfelé.

- ha ez negatív, akkor felhívni a parabola vázlatosan az alábbiakban ökör tengely ágak lefelé.

Továbbá, csak az maradt hátra, hogy össze tudjuk hasonlítani kép ezt az egyenlőtlenséget, és figyelembe véve a megjelölés csak írni a választ. Mindent.

Példa: x 2 + 2x + 16 <0

A diszkrimináns negatív, akkor nem ló. Tehát a parabola metszi az x tengely.

A együtthatója x 2 pozitív (egyenlő 1), akkor a parabola a következő - a ága felfelé, és felett található a tengely ökör (például ábrán. 12).

Meg kell, hogy írják le az x értékét, amelyre x 2 + 2x + 16 negatív. Az ilyen „x” nem, ez nyilvánvaló a grafikon (12. ábra).

Válasz: xε∅ (nincs döntés).

* Ha a jele, hogy ez az egyenlőtlenség volt a „>”, akkor a megoldás az lenne, minden valós számok (ábra. 10).

Most az utolsó pont, amely nem lehet kiiktatni bármilyen módon egy párt, már nem tekinthető a megoldás az egyenlőtlenség a következő formában:

Minden egyszerű. Ha részletesen tanulmányozta a fenti anyag a cikkben, és hiányzott az információt, mint mondják, a maga itt ezeket a kérdéseket a válasz egyszerű.

Három eset lehetséges, e fúziós a döntést AH 2 + bx + c = 0, azt kapjuk:

2. Egy gyökér, akkor a megoldás xε (-∞; x) U (x; + ∞).

3. Nem gyökerek, az oldat egész szám xε tengelye (-∞; + ∞).

Get anyag cikket PDF

Ez minden, köszönöm a figyelmet. Tágas fordult kis cikket.

Üdvözlettel, Aleksandr Krutitskih