Pascal háromszög 2

Csodálatos háromszög nagy francia

Jól emlékszem egy tanár, aki
látás és azt hitte, hogy megbolondult.
Odajött hozzám állapotban pánik.
Válaszképpen csak felkapott egy könyvet a polcról, írott
Körülbelül négy évvel ezelőtt, és ő megmutatta beteg
fametszet ábrázoló pontosan
mit álmodott.
Carl Gustav Jung. Ember és szimbólumok.

Amikor olvastam Pascal, azt hiszem,
Olvastam magam.
Stendhal

Blez Paskal és a másik nagy francia, Per Ferma lett az alapítók a valószínûségelmélettel év az ő születése gyakran nevezik 1654-ik, amikor Pascal és Fermat egymástól függetlenül adott megfelelő magyarázatot az úgynevezett paradox ráták részben. Két játékos játszik az „ártalmatlan” játék (azaz esélye nyerni mind ugyanaz), egyetért azzal, hogy az, aki először nyer hat játékot, kap a teljes díjat. Tegyük fel, hogy a játékot megállították, mielőtt egyikük díjat nyert (például az első játékos, aki öt játékot, és a második - három). Amint helyesen ossza el a jutalmat? Jóllehet általánosságban elmondható, hogy a probléma nem egy paradoxon, sikertelen próbálkozás néhány prominens tudós megoldani, valamint a helytelen válaszok hoztak létre a legenda a paradoxon. Így a határozat szerint a díjat kell osztani tekintetében 5. 3, azaz arányosan, hogy megnyerje a játékot szerint egy másik - kapcsolatban 2. 1 (itt a érveket, úgy tűnik, az alábbiak szerint: az első játékos, aki két játék több, ami egy harmada a szükséges nyerni hat játékot, akkor meg kell kap egy harmada a díjat, és a többiek, hogy kétfelé osztjuk).

Közben meg kell osztani az arány 7: 1. És Pascal és Fermat tekinthető a paradoxon rész aránya, mint egy probléma valószínűségek, megállapítva, hogy valós az a fejezet, amely arányos az esélye, hogy az első játékos, aki a díjat. Tegyük fel, hogy az első játékos csak egy játék hagyott nyerni, és a második, hogy nyerni kell nyerni egy három játékot, a játékosok továbbra is játszani és játszani mind a három játékot, még akkor is, ha egyesek lesz felesleges meghatározni a győztes. Az ilyen meghosszabbítás összes 2 3 = 8 lehetséges kimenetelek egyformán valószínű. Mivel a második játékos kap egy díjat csak egy eredmény (ha megnyerte mind a három játék), és más esetekben, az első játékos nyer, csak az arány a 7. 1. (Pascal és Fermat is találtak általános megoldást arra az esetre, ha az egyik játékos díjat nyerni n több fél, és a másik - m tételek).

Triangle lesz részeg
Felvidítani őt adni!
Bár ő téglalap,
Hogy ő kocka yadrena tetű
Vladimir Vysotsky

Tény, hogy a Pascal-háromszög ismert volt jóval azelőtt 1653 - visszavonás időpontjával, „egy értekezést a számtani háromszög”. Tehát, ez a háromszög reprodukálni a címoldalon számtani tankönyv írt a korai XVI Peter Apianom, csillagász, a University of Ingoltshtadskogo. Megmutatja egy háromszög és illusztráció a könyv a kínai matematikus, megjelent 1303. Omar Khayyam, aki nemcsak a filozófus és költő, hanem egy matematikus, tudott a létezéséről egy háromszög 1100 körül viszont kölcsönvette a korábbi kínai vagy indiai forrásokból.

Ez még könnyebb elmagyarázni Pascal háromszöget egység szó: minden szám összege a két szám fölé. Minden elemi, de sok a rejtett csodáit.

A tetején a háromszög érdemes 1. A háromszög folytatható a végtelenségig. Ez szimmetrikus egy átmenő függőleges tengely csúcsa. Átlói mentén (mint egy háromszög lehet átlós, de ne kibúvó, ezt a terminológiát található publikációk), párhuzamos oldalai a háromszög (az ábrán jelölt zöld vonalak) vannak elrendezve háromszögszámok és általánosításaik hogy az esetben, terek az összes dimenzióban.

Háromszögszámok a szokásos és ismert számunkra, mint azt mutatják, hogy hány kapcsolódó klubok lehet elhelyezni egy háromszög -, mint egy klasszikus példája a kezdeti beállítás a golyó biliárd. Az érem, akkor dőlni még két - összesen 3-2 lehetséges priladit három - összesen hat. Folytatva, hogy növelje sorok háromszög alaktartó sorozatát kapjunk 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, és 66 azt mutatja, hogy a második zöld vonal. Ez a figyelemre méltó szám, minden egyes tagja, amely az összege a természetes számok (55 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10) tartalmaz továbbá egy több ismerős, jól ismert ventilátorok matematika: 6 és 28 - elkötelezett szám 36 - szögletes 8-as és 21 - Fibonacci-számok.

És a következő zöld vonal (1, 5, 15, 35) nem próbálja bizonyítani gipertetraedra üzembe néhány négy-dimenziós térben - a labda hozzáér a négy, és azok viszont tíz. A mi világunkban ez nem lehetséges, csak négy, virtuális. És minél több öt dimenziós tetraéder, amint azt a következő zöld vonal, csak akkor létezik a topológia szempontokat.

És mit mondunk a legfelső zöld vonal, amelyen a természetes számok? Ez is egy háromszög alakú számot, de egydimenziós, mutatja, hogy hány golyó lehet határozni a vonal mentén -, mennyit eszik, így sok laikus. Ha megyünk, hogy a végén, a felső egységek száma - szintén háromszög alakú számot a zéró-dimenziós térben - nem számít, hogy hány golyó nincs -, hogy egyszerre egynél több nem lehet, mert egyszerűen sehol - nincs hossza vagy szélessége vagy magassága.

Még egy felületes pillantást Pascal háromszöget, elegendő megjegyezni a következőket érdekes tény: 10 magot lehet hajtani formájában tetraéder és a sík háromszög. A 56 Hypernuclei alkotó tetraéder öt dimenziós térben, lehet helyezni egy szabályos tetraéder a megszokott háromdimenziós, azonban, ha megpróbáltuk, hogy 56 mag háromszög, majd az egyik mag marad felesleges.

Kotorászott egy pár percig, akkor meg kell jutalmazni egy háromszög jelenik meg a képernyőn, és így készen állnak a következő szokatlan kísérletet. (Túl sok sort kérni nem szükséges, mivel a 13-14 sorokban a közepén kezdenek megjelenni négy vagy öt számjegyű szám, akkor egyesül a folyamatos egymás mellett, és a kép maszatos. Akkor természetesen növeli a méretét, a sejt és csökkenti a font, de még mindig a számok a közepén a háromszög gyorsan növekszik, és összevonásra kerül, még ha egy pár sort alább).

De először még egy pár érdekes tulajdonságokkal Pascal háromszög. Ahhoz, hogy megtalálja a számok összege minden átlós elejétől a helyeken érdekes számunkra, csak nézd meg a számot alján található, és elhagyta az utolsó távon. (Balról jobbra átlósan, a jobb és a bal oldalon általában az átlós - közelebb van a közepén a háromszög). Például tegyük fel, szeretnénk számítani az összeg a természetes számok 1-től 9 „leszármazottja” az átlós a 9-es szám, látni fogjuk, az alján maradt belőle száma 45. Ezután megadja a szükséges összeget. Mi az az összeg, az első nyolc háromszög számok? Mi letölteni a 8. számot a második átlós és lefelé mozog, és a bal oldalon. Válasz: 120. De az úton, 120 - tetraéderes számát. Ezért figyelembe az összes golyót, ebből 8 állnak az első háromszög, tudtuk összeadjuk a tetraéder. Próbálja cseresznye vagy alma az azonos méretű, csak ne próbálja velük menni a negyedik dimenzióba, akkor eltűnnek.

Számok összege, nem állt végig a meredeken csökkenő átló (az ábrán jelölt piros vonalak) képeznek egy jól ismert állandó olvasók Fibonacci-sorozat. Lásd például a fenti cikk „Nyulak kannibálok négysorosaiból.” Or több anyag egy görögdinnye.

De a korábbi közlésekben nem beszéltünk arról, hogy a Fibonacci-számok gyakran megtalálhatók a kombinatorikus problémák. Tekintsük a székek száma n. Hányféleképpen lehet ülni velük a férfi és női, úgy, hogy nincs két nő ült egymás mellett? Ha n = 1, 2, 3, 4, illetve a számos módon 2, 3, 5, 8 azaz egybeesik Fibonacci számok. Pascal, nyilván nem tudja, hogy a Fibonacci-számok rejtett a háromszöget. Ezt a tényt fedezték fel csak a XIX. Száma álló vízszintes sorok Pascal háromszög - a binomiális együtthatók, azaz együtthatók a tágulási (x + y) n hatásköre x és y. Például, (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 és (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy2 + y 3. A tágulási együtthatók 1, 2, 2. a második sorban, és egy , 3, 3, 1 - a harmadik sorban a háromszög. Ahhoz, hogy megtalálja a tágulási együtthatói (x + y) n. csak nézd meg a n-edik sorának a háromszög. Ez egy alapvető tulajdonsága Pascal háromszög összeköti azt a kombinatorika és a valószínűségszámítás, hogy egy kényelmes eszköz számítások elvégzése.

Az általános esetben, a szám azt jelzi, hogy hány módon lehet választani több n elemek tartalmazó a különböző elemek a r, a kereszteződésekben n-sósav diagonális és r-edik sorban. Továbbá, azok számára, akik legalább valamit kapni. A lehetséges kombinációinak számát n által m elemek az alábbi képlet szerint

Ahol n! = 1 * 2 * 3 * 4 *. * N faktoriálisának egy úgynevezett n. És ugyanaz a három nő közül hét, akkor választhat számos lehetőség: !!! C július 3 = 7/3/4 = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7/1 * 2 * 3/1 * 2 * 3 * 4 = 5040/6/24 = 35, amelyet már megvan. A binomiális együtthatók által meghatározott értékek a képletben azok azonosak, mint azt találtuk, sorok Pascal háromszög, összekötő megmagyarázhatatlan módon ez a háromszög, és a kombinatorikai binomiális terjeszkedés hatáskörét.

Mellesleg, a kombinációk képletű következik, hogy a számos választási három-hét számával megegyező választási négy évről hét, vagy kártyák száma töltés Sportloto kiviteli alakja 5 36 számával megegyező 36 kiválasztási 31, gondolni ezt kellemes téma.

Itt van egy program, amely végrehajtja a háromszög színezés szerint a paritás az egyes háromszög. Ahelyett, hogy érték a helyén készült kör süllyesztett fekete páratlan értékeit fehér, sőt.

A második szakaszban, ugyanazt a műveletet végezzük a fennmaradó három háromszög, majd a maradék kilenc, és így tovább. Meg tudja találni a határ által kért a fennmaradó területen? És hogyan lehet megmagyarázni a véletlen a két modell?

Mozgó tovább - Próbálok nem ellenőrizze paritás és a maradék osztály más számokat, és minden egyes alkalommal meglepett nyitó néző háromszög. Játék után egy ideig, azt látjuk, hogy ha számának megadásával osztás, amit ellenőrizni, egyszerű, hogy szép minták kifejezettebb rendszeresség (tegye fel a 3., 5., 7., 11., 13., 17.), és, ha van egy összetett szám dísz összeomlik, eltarthatóságát, azonban a szimmetria és a szabályszerűséget váltakozó mintákat. Ezen túlmenően, a több a osztók ellenőrizte (például HA2 12 osztva 3, 4 és 6), a több „homályos” minta kapunk.

Tekintsük a háromszög épített „a” 7-es, azaz a szám nem osztható maradék nélkül 7, feketére festett, elosztjuk - fehér, és próbálja meg, hogy mintákat.

És itt van az eredmény a program. Hát nem gyönyörű? Látható vörös háromszög „Sierpinski zóna”, amely felett helyezkedik el a zöld ablakok kilences ad sárga zóna, és a kék részek a szétválás 11 ad lila foltok. Teszi ezt a szépséget gyakorlati értéke, kivéve a tapéta nem egyértelmű, de a Pascal-háromszög, különösen a szín, akkor számíthat semmilyen csodát, talán a közeli jövőben. És itt egy másik változata a színezékek által az algoritmus

r = a (x, y) / mod 3 255 g = a (x, y) / 2 Mod 255 b = a (x, y) / 4 Mod 255

És az utolsó kérdés, összekötözték Pascal háromszöget és a sakk. Mi az az összeg az összes számok felett állnak bármilyen sorozat? Tartja magát, kezdve a tetején ezen összegek, és látni fogja az értékeket az 1., 3., 7., 15., 31. Nem szükséges, hogy nagy képzelőerő, hogy egy egyszerű szabályt: az összeg az összes számot az n sorok egyenlő 2 n -1. És hol sakk itt? Szerint a jól ismert legenda Raja ígérte alkotója sakk bármilyen díjat, amely azt kéri. Amikor az első játékos kérte, hogy az első négyzet a tábla egyik búzaszem, a második - két, a harmadik - négy, és így továbbra is a kettős, míg a 64. tér, a Raja megsértődött első hiányosság kérünk a jutalom. Amikor a kínálat vezetők, raktáros rájött kérünk a számot, kiderült, hogy ez a gabona is töltse ki az egész Földet a térd, ez sokkal több, mint volt, és összegyűjtik az összes növények az emberiség. (Egyébként, meg lehet becsülni a magassága a gabona réteg, egy előre meghatározott térfogatú gabona, például 1 mm-es szorozva 3. 2 64. szükségszerűen kivonni 1, és felosztják a négyzet felszín.) Tehát - minden egyes cellában feküdt táblák (a) a szemek száma egyenlő a számok összege a megfelelő sorban Pascal háromszög, és az összeg a szemcsék az első n sejtek egyenlő (a) a számok összege a következő N sorban a mágikus háromszög. Ez bőséges képzelet és a felülvizsgálatot.