Gradiens funkció - studopediya

Minden egyes pontjában a D, amely olyan funkciót, definiálunk egy vektor, amelynek előrejelzések a tengelyeken azok az értékek a részleges származékok ezt a funkciót a megfelelő ponton:

Ezt a vektort nevezzük a gradiens a függvény. Azt mondják, hogy a területen D definiált vektor mezőgradiensekkel. Belátjuk a következő tétel közötti kapcsolat jön létre a színátmenet és irányított származék.

Tétel. Legyenek adott skalármező és az ebben a mezőben egy skalár mezőgradiensekkel.

Ezután a származék irányába egy vektor egyenlő a nyúlvány egy vektor.

Bizonyítás. Tekintsük a egységvektor A vektornak megfelelő:

Kiszámítjuk skalár szorzata vektorok:

Az expressziós jobb oldalán ennek az egyenletnek a származékot egy függvény az irányt a vektor. Következésképpen a tisztességes

Jelöljük a szög a vektorok és ezen keresztül, tudjuk írni:

A fentiek alapján tétel egyértelműen ez kapcsolatot létesít a gradiens és a származékot egy adott ponton minden irányban.

Mi létre néhány tulajdonságát gradiens:

1) A-származékot egy adott ponton az útvonalon vektor egy maximális értéke, amikor a vektor iránya egybeesik az irányt a gradiens; ez a legnagyobb értéke a származék egyenlő.

2) A-származék az irányt a vektor merőleges a vektor nulla.

Megjegyzés. Ha a függvény olyan függvény két változó, a vektor

Ez merőleges arra a szintre, görbe síkban fekvő és átmegy a megfelelő ponton.

Példa. Határozza meg a gradiens a függvény a ponton.

Határozat. parciális deriváltak

A pont lesz egyenlő